Modelo genético da variação contínua

Do empirismo experimental à capacidade de fazer previsões tem de passar-se por um desenvolvimento teórico. Os modelos genéticos para a variação contínua assumem que um número indeterminado de loci se encontram em segregação na meiose, sendo o contributo da variação alélica em cada locus relativamente pequeno em relação ao desvio-padrão da distribuição fenotípica. Diz-se assim que a hereditariedade neste tipo de distribuições é poligénica.

A partir das leis de Mendel pode deduzir-se a contribuição genética dos progenitores para os fenótipos da descendência, isto é, constroem-se modelos genéticos explicativos das respostas à selecção e/ou regressões, assim como a outros resultados experimentais com características de variação contínua. No modelo que irá ser desenvolvido aqui, assume-se que cada um desses loci segrega apenas dois alelos, por exemplo A₁/A₂, B₁/B₂, etc.; a cada um dos três genótipos, e para cada locus, corresponde um desvio positivo ou negativo referenciável ao valor intermédio entre os dois homozigóticos (cf. figura 1, "relações de dominância"):

As grandezas a e d são, junto com as frequências p (de A₁) e q (de A₂), os parâmetros genotípicos e populacionais que servem para descrever o efeito do locus A₁/A₂ na variação dos valores genotípicos G. Note-se que se atribui a frequência p ao alelo cujo homozigótico tem maior valor na escala fenotípica; é uma convenção que não implica ser esse um alelo dominante. O ponto de referência de valor 0 tem, na generalidade dos casos, um interesse meramente teórico e não é, senão em casos particulares, a média da distribuição fenotípica (M). Esta obtém-se como

M = p²a + 2pqd – q²a

ou, após rearranjo,

M = (p – q)a + 2pqd

(ainda por uma questão de simplicidade, considera-se que a população se encontra em equilíbrio de Hardy-Weinberg, e assume-se que a distribuição dos efeitos ambientais tem média 0, isto é, que a média fenotípica é igual à média dos valores genotípicos)

Valores melhoradores

Dentro da população, continuando neste modelo, há dois tipos de gâmetas por locus segregante. Assim, os genótipos que os gâmetas contendo A₁ produzem na geração seguinte não são exactamente os mesmos que os dos restantes gâmetas (contendo A₂), resultando descendências diferentes em função duns e doutros:

Imaginando uma situação em que apenas pólen de tipo A₁ fosse participar na reprodução, esperar-se-ia que o M da geração seguinte fosse diferente do original. É assim que, subtraindo-se à coluna da direita a fórmula de M acima, se obtém o efeito médio (símbolo α) de cada um dos alelos:

O termo no parêntesis recto, α = α_A1 – α_A2, designa-se por efeito médio de substituição de um alelo pelo outro alelo, em qualquer direcção. O efeito máximo de substituir um gene pelo outro é quando o gene que entra a substituir for raro (é outra maneira de dizer que o efeito da substituição de, por exemplo, A₂ por A₁, α_A1 = qα, é proporcional a q, o valor da frequência do gene substituído). Assim, se pela selecção estivermos a aumentar a frequência de um alelo à custa da frequência do outro alelo, a média da descendência vai reflectir essa alteração numa fracção de α, isto é: a resposta à selecção é uma função do efeito médio de substituição. Somando os efeitos médios dos genes de cada genótipo progenitor, encontram-se os respectivos valores melhoradores:

Por causa de adicionarem-se os efeitos médios dos dois genes de cada indivíduo se diz que o valor melhorador de cada genótipo é a componente aditiva (A) do valor genotípico G. A diferença entre G e A é o chamado desvio de dominância D (que é definido em termos populacionais, portanto diferente do parâmetro d). A seguinte tabela resume estas três componentes, uniformizando-as todas em função da média da distribuição fenotípica, M:

Fazendo-se o somatório das contribuições de todo o conjunto de k loci segregando para o fenótipo em estudo, obtêm-se

e os valores de G = A + D para cada indivíduo. Como se desconhece o genótipo desse indivíduo e por isso em que loci se aplica a expressão 2q_iα_i, ou (q_i – p_i)α_i, ou –2p_iα_i, a formulação exacta de A (assim como as de G e D) é sempre uma incógnita. Só empiricamente, pela média dos descendentes de diferentes indivíduos, se podem avaliar os valores de uns em relação aos outros.

Neste ponto importa sobretudo reter a noção que, dentro de uma distribuição fenotípica pode existir uma distribuição de valores melhoradores, os quais dependem dos parâmetros a_i, d_i, p_i e q_i para cada locus i segregante nessa distribuição; a selecção entre diferentes valores de A é o princípio em que se baseia o melhoramento por selecção.

Quando haja interacções entre os loci segregando para uma característica, sejam elas de complementaridade, redundância, epistasia, ou ainda ligação genética, o valor genotípico pode não ser exactamente A + D, definindo-se neste caso uma terceira componente do valor genotípico G, a componente de interaccção, I = G – (A + D).

Exemplo
(segundo Falconer e MacKay)

Recordando o exemplo da pigmentação em murganhos (cf. "genes pleiotrópicos"), suponhamos uma população em equilíbrio de Hardy-Weinberg com 40% de indivíduos de genótipo bb e 20% de genótipo c^ec^e:

Designando o fenótipo número de grânulos de melanina por X e o tamanho médio desses grânulos por Y, e assumindo equilíbrio entre os loci, temos as médias globais

M_X = 0,48×95 + 0,16×38 + 0,32×90 + 0,08×34 = 83,2

M_Y = 0,48×1,44 + 0,16×0,94 + (0,32+0,08)×0,77 = 1,112

e os valores genotípicos por cada classe fenotípica, em referência a essas médias,

e através dos quais se podem obter os valores genotípicos em cada locus:

Os valores de A + D para cada classe (B–C–, etc.) são dados pela soma entre os correspondentes valores G por locus; a diferença para o valor G observado (G – (A + D)) constitui uma estimativa do valor I para cada classe:

A comparação entre as variáveis X e Y mostra como a epistasia do genótipo bb para a expressão de Y se traduz num desvio de interacção apreciável, nas classes c^ec^e.

Variância aditiva

Visto que a selecção depende da existência de diferentes valores melhoradores, a variância aditiva, V_A, definida como a variância dos valores melhoradores A presentes numa distribuição, é uma medida do potencial avanço dessa selecção. Por referência a M, tem-se

V_A = p²(A_A1A1)² + 2pq(A_A1A2)² + q²(A_A2A2)² = 2pqα²

assim como a variância de dominância

V_D = p²(D_A1A1)² + 2pq(D_A1A2)² + q²(D_A2A2)² = (2pqd)²

Considerando que não há interacções entre os k loci segregantes, pode escrever-se para qualquer distribuição

e

e, dado que COV_AD = 0, a variância dos valores genotípicos, V_G, define-se como

V_G = V_A + V_D

(assumindo V_I = 0)

Exemplo

Voltando ao exemplo da pigmentação do pelo, os dados dos valores de G e I (cf. "valores melhoradores") permitem agora calcular as respectivas variâncias:

Para X:

V_G = 0,48×11,8² + 0,16×–45,2² + 0,32×6,8² + 0,08×–49,2² = 602,17

V_I = 0,48×1,6² + 0,16×–1,2² + 0,32×1,4² + 0,08×–2,0² = 2,41 (0,4% da V_G)

Para Y:

V_G = 0,48×0,328² + 0,16×–0,172² + 0,32×–0,342² + 0,08×–0,342² = 0,10316

V_I = 0,48×0,04² + 0,16×–0,16² + 0,32×–0,06² + 0,08×0,24² = 0,01062 (10,3% da V_G)

Considerem-se dois indivíduos, P e Q, com as seguintes genealogias:

Se entre eles houver algum parentesco, haverá uma covariância genotípica positiva, a qual (novamente assumindo que não há interacção entre os loci segregando para a característica em estudo) é dada pela fórmula

rV_A + uV_D

Numa população em equilíbrio de Hardy-Weinberg, r = 2f_PQ e u = f_ACf_BD + f_ADf_BC, em que os f são coeficientes de parentesco (cf. "consanguinidade").

Exemplo

Entre irmãos (por exemplo, obtidos a partir de sementes provenientes de um mesmo cruzamento), temos A = C e B = D, donde se obtém (se os progenitores não forem aparentados)

r = 2f_PQ = 2 × ¼(f_AA + 2f_AB + f_BB) = 2 × ¼(½ + 0 + ½) = ½

u = f_AAf_BB + f ²_AB = ¼ + 0 = ¼

A tabela seguinte dá os valores de r e de u correspondentes a vários parentescos entre P e Q:

Estes valores (r nomeadamente) são importantes para estimar componentes da variância genotípica em diversas situações (cf. "designs ANOVA")

Se se considerarem os valores dos coeficientes de consanguinidade FP e FQ diferentes de 0, então tem-se de dividir 2fPQ pela raiz quadrada dos produtos entre 1 + FP e 1 + FQ:

Se a interacção entre loci for significativa, considera-se que ela só será importante entre loci dois a dois, definindo-se três componentes da variância de interacção tais que

V_I = r²V_AA + ruV_AD + u²V_DD

Referindo-se AA à interacção entre loci homozigóticos, DD entre heterozigóticos, etc.. Note-se que nos parentescos em que u = 0 só V_AA contribui:

Por conseguinte, pelo menos a V_AA será de ter em conta quando se suspeita da existência de interacções entre loci. Quanto à ligação cromossómica (que, em tratando-se da segregação de muitos loci, é forçoso que exista), demonstra-se que, na ausência de desequilíbrios de ligação, e na ausência de outras interacções entre os loci ligados, não afecta a fórmula das covariâncias dada acima.

Heritabilidade

Para que se possa realizar a selecção com expectativas de uma resposta satisfatória, em função dos efeitos médios de substituição α_i, é necessário saber qual a interdependência entre os valores fenotípicos P (indicadores de quais os indivíduos a seleccionar), dos indivíduos representados nessa distribuição, e os respectivos valores melhoradores A (indicadores dos reais efeitos a esperar na média da descendência). A medida estatística dessa interdependência (a correlação r_AP), tem a seguinte solução algébrica, considerando P = A + NA + E (NA designa "genotípico não-aditivo", isto é, D + I):

Sendo COV_AA = V_A e admitindo que COV_A,NA+E = 0, fica-se com r_AP = V_A/ , donde se obtém

O símbolo h² é conhecido como heritabilidade, e como a fórmula indica define-se como a proporção da variância fenotípica (calculada a partir da distribuição dos fenótipos medidos) que corresponde à variância de valores melhoradores V_A. Assim, qualquer variância fenotípica pode ser decomposta em variâncias parcelares atribuíveis às interferências ambientais (V_E), aos desvios de dominância e de interacção (V_D e V_I respectivamente), e finalmente à variância aditiva, V_A. Os valores mínimo e máximo para a heritabilidade são 0 e 1, sendo o valor 0 um indicativo de que não há variação nos valores melhoradores, ou seja V_A = 0. Qualquer tentativa de selecção com base nos fenótipos só poderá dar resultados (isto é, produzir respostas) se a heritabilidade não for nula. Por isso a determinação da V_A numa distribuição fenotípica constitui um passo fundamental para caracterizar geneticamente uma população para o fenótipo em causa.